September 28, 2020

Teorema Perkalian Bilangan Bulat

Teorema Perkalian Bilangan Bulat

  • Jika a, b, dan c angggota himpunman bilangan bulat Z dan a = b maka       a x c = b x c

Bukti :

ambil a, b, dan c di Z

  1. (a x c )  Z                     sifat tertutup
  2. a x c = a x c                 sifat refleksi
  3. a = b                            diberikan
  4. a x c = b x c                 substitusi 3 ke 2
  • Jika a, b, dan c anggota himpunam bilanga bulat Z maka

(a + b) x c = (a x c) + (b x c)

Bukti :

Ambil a, b, dan c di Z

  1. (a + b) x c  Z
  2. (a + b) x c = c x (a + b)
  3. c x (a + b) = (c x a) + (c x b)
  4. (c x a) = (a x c) dan ((c x b) = (b x c)
  5. (a + b) x c = (a x c) + (b x c)
  • Jika a anggota bilangan bulat  Z  maka a x 0 = 0 dan 0 x a = 0

Bukti :

Ambil a, b, dan c di Z.

1). a = a

2). 0 = 0 + 0

3). a x 0 = a x (0 + 0)

 4). a x 0 = (a x 0) + (a x 0)

5). 0 + (a x 0) = (a x 0)

6). 0 + (a x 0) = (a x 0) + (a x 0)

7). 0 = (a x 0)

8). (a x 0) = 0

9). (0 x a) = 0

Berikut akan diperlihatkan bagaimana memberi makna perkalian dua bilangan bulat yang satu negatif dan lainnya positif. Misalkan a dan b adalah bilangan cacah, maka a bilangan bulat positif dan (-b) bilangan bulat negatif. Akan diperlihatkan bahwa a x (-b) = -(a x b).

Bukti :

  1. a x (b + (-b)) = a x 0
  2. (a x b) + (a x (-b)) = 0
  3. (a x (-b)) + (a x b) = 0
  4. ((a x (-b)) + (a x b)) + (-(a x b)) = 0 + (- (a x b))
  5. (a x (-b)) + ((a x b) + (-a(a x b))) = – (a x b)
  6. a x (-b) + 0 = – (a x b)
  7. a x (-b) = – (a x b)

  Mengingat sifat komutatif pada perkalian bilangan bulat, maka :

  1. (-a) x b = b x (-a)
  2. = – (b x a)
  3. = -(a x b)
  • Buktikan bahwa (-a)(b + (-c)) = ac – ab.

Bukti  :

(-a)(b + (-c))

=  (-a)(b) + (-a)(-c) sifat distributif perkalian penjumlahan

=  (-(ab)) + ac      perkalian bilangan bulat (-a) x b = -ab dan (-a) x (-c) = ac

=  ac + (-(ab)) sifat komutatif perkalian

= ac – ab penjumlahan 2 bilangan bulat (misal : a + (-b) = a – b)

Jadi terbukti bahwa (-a)(b + (-c)) = ac – ab.

Sumber: https://pendidikan.co.id/jasa-penulis-artikel/